ஆசீவகம்-எண்ணியல் (Aseevagam-Metrology and Number System)
எண்ணியல் (Number System)
”எண்ணும் எழுத்தும் கண்ணெனத் தகும்” எனக் கொன்றை வேந்தனில் எதிரொலித்தார் ஒளவையார். எண்ணியலை முதலில் வைத்து எழுத்தியலைப் பின்னர்க் குறித்தவாறு முதலில் மனத்தில் எண்ணிய பிறகே எழுத்துப் பிறக்கும் என்க. அவ்வாறு எண்ணுதலான் தானே தோன்றிய எண்ணியலைப் பற்றிப் புகுமுன், பிற எண்ணியலுக்கும், ஆசீவக அறிவர் மரபின் எண்ணியலுக்கும் உள்ள அடிப்படை வேறுபாட்டினை அறிய வேண்டியது முதலாம் என்க. கணியன் பூங்குன்றனார், கணக்காயன் தத்தனார், மதுரைக் கணக்காயனார், கணியாதனார், பக்குடுக்கை நன்கணியார், தொல்கணியாதன் என எண்ணற்ற கணக்கியலாளர்கள் (Mathematicians) வாழ்ந்துள்ளனர்.
கணிதவியல் நூல்கள் (Mathematical books)
கணிதவியலைப் பற்றி ஏரம்பம், சினராலயம், கணித இரத்தினம், சிறு கணக்கு முதலிய பல நூல்கள் முன்பு தமிழ் மண்ணில் வாழ்ந்தன. இன்று கணக்கதிகாரம், ஆஸ்த்தான கோலாகலம், கணித தீபிகை ஆகியவை மட்டும் இருக்கின்றன.
மேல்வாய் இலக்கம், கீழ்வாய் இலக்கம் (Positive integers, Negative integers)
கணிதத்துறையில் பழந்தமிழர் ஓங்கித் திகழ்ந்தனர். கணிதத்திற்கு அடிப்படையான எண்களை மேல்வாய் இலக்கம் (ஏறுமுக எண்கள்), கீழ்வாய் இலக்கம் (இறங்குமுக எண்கள்) என்று இரண்டாகப் பிரித்தனர். ஒன்று என்ற எண்ணுக்கு மேற்பட்டது, மேல்வாய் இலக்கம். ஒன்றுக்குக் கீழ்ப்பட்டது கீழ்வாய் இலக்கம்."ஐ, அம், பல் எனவரு உம்'' என்று தொடங்கும் தொல்காப்பிய நூற்பாவுக்கு (தொல்.எழுத்து. 394) உரை கூறிய உரையாசிரியர்கள் தாமரை, வெள்ளம், ஆம்பல் என்னும் பேரெண்களைச் சொன்னார்கள். நெய்தல், சங்கம், கமலம் முதலிய பேரெண்களைப் பரிபாடலும் குறிப்பிட்டது. இவை எத்தனைக் கோடிகள் என்பது இன்று தெரியவில்லை.
சுழியம் (Zero)
உலகம் ஐம்பூதங்கள் கலந்த அணுக்கொள்கையின் அடிப்படை என்று முடிவு கண்ட அறிவர், இந்த அளவையில் இன்மை ஓர் உள் பொருளாகக் கருதப்பட்டதால், இன்மையைக் குறிக்க சுழியம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியதாயிற்று. பிற எண்ணியலின் ஏறுமுக இலக்கங்கள் முறையே சுழியத்தில் தொடங்கி (0) உயர் இலக்கங்களைக் குறிக்கும் அவ்வாறே இறங்கு முக இலக்கங்கள் உயர் இலக்கங்களில் தொடங்கிப் படிப்படியாகக் குறைந்து சுழியத்தில் முடியும், அதாவது இலக்கங்களின் கடையிறுதியாகச் சுழியம் குறிக்கப்படும், ஆனால் அறிவர் எண்ணியலிலோ ஒன்று, இரண்டு எனும் இலக்கங்களைப் போல கால், அரை, முக்கால் எனும் வின்னங்களைப் போல ”0’ சுழியம் என்பதும் ஒரு நிலையே.
சுழியம் என்பதை வெறும் குறியீடாகக் கருதாமல், எண்ணாக முதலில் பாவித்தவர்கள் தமிழர்கள். சுழியம் தமிழில் இருந்தே தோற்றம் பெற்றது என்பார் பேராசிரியர் முனைவர் கு. அரசேந்திரன். இன்மைக்கொள்கை தமிழருடையது. அணுக்கொள்கையில் ஏரணப் பிரிவுகளில் இதுவும் ஒன்று. இதனை
அண்மையின் இன்மையின் எண்மையின்
வன்மையின் அன்ன பிறவும் குறிப்பொடு கொள்ளும்
என்ன கிளவியும்
….. தொல். செய்யுள் 214.
எனத் தொல்காப்பியர் குறிப்பிடுகின்றார். வித்திலிருந்து மரம் உண்டாகிறது. வித்தினைப் பார்க்கும்பொது மரம் தெரியவில்லை. வித்து முளைத்துச் செடியாகும்போது மரம் தெரியவில்லை. வித்து முளைத்துச் செடியான பிறகு வித்தினைப் பார்க்க முடிவதில்லை.
வித்தில் மரம் தெரியாதது இன்னை. அதனால் மரம் இல்லை என்று பொரு கொள்ள முடியாது. இன்மையாகிய பொருள் உள்ள பொருளே. ஆதலால் சுழியத்தின் மதிப்பு கண்ணுக்குப் புலப்படாத உண்மையாயிற்று. இதனைப் பக்குடுக்கை நன்கணியர், கணியாதன் ஆகிய கணியவியல் அறிவர்கள் உலகிற்கு உணர்த்தினர். நாளடைவில் ஆசிவகம் எனப்பட்ட இக்கோட்பாடு சாங்கியம், வைசேடிகம், உலகாயதம் எனும் பெயர்களில் நாலாத் திசையும் பரவிற்று.
பக்குடுக்கை நன்கணியார், கணியாதன் ஆகியோர்க்கு மூவாயிரம் ஆண்டுகட்கு முன்பு வாழ்ந்த கணியர் மரபில் தோன்றிய தொல்கணியாதன் (Tholkaniyathan) என்பவரே முதன்முதல் இன்மைக் கோட்பாட்டினையும் சுழியத்தையும் வண்டிச்சக்கரத்தின் சுற்றளவு வாய்பாட்டையும் கண்டறிந்தவர் என்பார் பேராசிரியர், இரா.மதிவாணன்.
அணுக்கொள்கையின் உட்பிரிவாகிய இன்மைக்கொள்கை சுழியமாகக் கருதப்பட்டது. இது மெய்யியல் ஓகம், ஊழிகம் (தியானம்) மந்திரம் ஆகிய பழந்தமிழர் நான்மறைக் கொள்கைக்கு வித்தாயிற்று. அறம், பொருள், இன்பம், எனும் முப்பால் பகுப்பு இல்லற வாழ்க்கைக்கும் மெய்யியல் முதலாகிய நான்கும் துறவறக் கோட்பாட்டுக்கும் நிலைக்களங்களாயின.
பக்குடுக்கை நன்கணியாரும் கணியாதனாரும் கண்டறிந்த சிறப்பியம் எனும் ஆசீவக அணுக்கொள்கையை வடநாட்டிலும் பரப்பியதால் மற்கலிகோசலர் இதனை மேலும் விரித்துரைத்தார். வடபுலத்தார் சாங்கியம், யோகம், உலகாயதம் எனும் கோட்பாடுகளை வளர்த்துக்கொள்ளவும் புத்த, சமண சமயத்தார் அணுக்கொள்கையையும் இன்மைக் கோட்பாட்டினையும் அடிப்படையாகக் கொள்ளவும் இது வழி வகுத்தது.
எண் கணிதம் இடையறவின்றிப் பல அடுக்கு எண்களாக வளர இன்மைக்கொள்கையின் புற வடிவமாகிய சுழியம் உதவியது. இதனால் தமிழில் பத்து லட்சத்தைக் குறித்த நெய்தல், கோடியைக் குறித்த குவளை அதன் பன்னூறு மடங்கு அடுக்குகளைக் குறித்த ஆம்பல், தாமரை, வெள்ளம், ஊழி போன்ற பேரெண்கள் மிக எளிதாக உருவாயின.
சுழியத்தின் பயன்பாட்டால் வணிகம், வானநூல் கணிப்பு, கணிதக் கலையின் வளர்ச்சி கட்டடக் கலை, பொறியியல் ஆகிய பல்வகை அறிவியல் வளர்ச்சி விரைவுபட்டது. உலக மக்கள் தமிழரின் சுழியம் கண்டுபிடிப்புக்கு நன்றி செலுத்தக் கடமைப்பட்டுள்ளனர்.
அவ்வாறெனின் அறிவர் கணக்கியல் இன்மையைக் குறிக்க எந்த எண்ணுருவைத் தெரிவுசெய்துள்ளது எனும் கேள்வி எழக்கூடும், அறிவர் கணக்கியல் இன்மையைப் ”புற்புதம்” எனும் குறியீட்டால் குறித்துள்ளது, “புற்புதம்” என்பது நீர்க்குமிழியைக் குறிக்கும் சொல்லாகவும் பொருள்படும், நீர்க்குமிழி என்பது இன்மையின் பரிமாணத்தினை இயல்பே வரையறுக்கும் காட்டு பொருளாகவும், இன்மை பற்றிய கருதுகோள்களை வரிசைப்படுத்தும் ஒரு எடுகோளாகவும் திகழ்வது வெளிப்படை.
π ( Pi)
வட்டத்தின் விட்டத்தை ஏழு சம கூறாக்கி அதனொடு 4 சமக்கூறுகளைச் சேர்த்து இரண்டால் பெருக்கினால் 7+4=11X2=22 சமக்கூறுகளாகிய வட்டத்தின் சுற்றளவு கிடைக்கும் என்பது இன்று படிப்பறிவில்லாத தச்சருக்கும் தெரிந்த தலைமுறைத் தொடர்பு அறாத கலையறிவு. 22/7 என்னும் கணக்கு நுட்பம் குமரிக்கண்டத்துத் தமிழரிடமிருந்தே உலக நாடுகளுக்கும் புரவியுள்ளது.
அளவைகள் (METROLOGY)
விரிக்குங்கால், நீரினின்றும் வெளியேறும் காற்றானது குமிழியினை உண்டாக்கும் குமிழி எளிதில் அழியும். அங்கு அதன்நிலை முன்னின்மை, பின்னின்மை, ஒன்றிலொன்றின்மை, முற்றின்மை எனும் அனைத்து இன்மைக் கூறுகளையும் உணர்த்தி நின்றது, இன்மையைப் பேசாத பொருண்மை சிறப்புறாது இன்மைக்கு இலக்கம் கொடுத்து நமது முன்னோர் கணக்கியல் தொடங்குகிறது எனலாம். இவையன்றியும் அளவை முறையினங்கள் முறையே
1. நீட்டலளவை
2. நிறுத்தலளவை
3.பெய்தலளவை
4. முகத்தலளவை
5. எண்ணலளவை
6. உய்த்தலளவை
எனப் பலதிறப்பட்டவாறு கையாளப்பட்டன, அவற்றில் சிலவற்றைக் காண்போம்,
1. நீட்டலளவை (units of length)
10 கோன் = 1 நுண்ணணு
10 நுண்ணணு = 1 அணு
8 அணு = 1 தேர்த்துகள்
8 தேர்த்துகள் = 1 ப”சிழை அலலது துசுமபு
8 ப”சிழை = 1 மயிர்அல்ல து மயிர்நுனி
8 மயிர்நுனி = 1 நுண்மணல்
8 நுண்ம ணல் = 1 சிறுகடுகு
8 சிறு கடுகு = 1 எள்
4 எள் = 1 கொள்
8 எள் = 1 நெல்
8 நெல் = 1 விர்ற்கிடை அல்லது விரல்
12 விரல் = 1 சாண்
2 சாண் = 1 முழம்
4 முழம் = 1 பாகம் அல்ல து கோல்
150 பாகம் = 1 கூப்பிடு
600 பாகம் (4 கூப்பிடு) = 1 காதம் (1200 கெசம்)
4 காதம் = 1 யோசனை
2. நிறுத்தலளவை
பொன்நிறுத்தல்
8 நெல்எடை = 1 குன்றிமணி
2 குன்றிமணி = 1 மஞ்சாடி
2 மஞ்சாடி = 1 பணவெடை
8 பணவெடை = 1 வராகனெடை
10 பணவெடை = 1 கழஞ்சு
2 கழஞ்சு = 1 கஃசு
4 கஃசு = 1 பலம் அல்லது தொடி
பண்டங்கள் நிறுத்தல்
32 குன்றிமணி = 1 வராகனெடை
10 வராகனெடை = 1 பலம்
40 பலம் = 1 வீசை
50 பலம் = 1 தூக்கு
6 வீசை = 1 துலாம்
8 வீசை = 1 மணங்கு
20 மணங்கு = 1 பார்ம்
பெய்தலளவை மற்றம் முகத்தலளவை
300 நெல் = 1 செவிடு அல்லது சிற்றாழாக்கு
5 செவிடு = 1 ஆழாக்கு அல்லது அரைக்கால்படி
2 ஆழாக்கு = 1 உழக்கு அல்லது காற்படி
2 உழக்கு = 1 உரி அல்லது அரைப்படி
2 உரி = 1 படி
4 படி = 1 மர்க்கால் அல்லது குறுணி
2 குறுணி = 1 பதக்கு
2 பதக்கு = 1 தூணி
5 மர்க்கால் = 1 பறை
80 பறை = 1 கரிசை
12 மர்க்கால் அல்லது 48 படி = 1 கலம்
120 படி = 1 பொதி
(பிற்காலத்தில் வணிகர்கள் பொருளாசையினால் படி மற்றும் மரக்கால் அளவுகளைச் சிறுபடி, பெரும்படி, லிட்டர் படி மற்றும் பட்டணம்படி எனப் பல்வேறான நிலையில்லாத நம்பகத் தன்மையற்ற அளவுமுறைகளை உருவாக்கிக் குழப்பினார்கள்.)
எடுத்தலளவை (மருத்துவ மரபு)
1. இரு விரல்களால் எடுக்கும்அளவு = ஒரு சிட்டிகை அல்லது
விரற்கடி (வெருகடி)
2. மூன்று விரல்களால் எடுப்பது = ஒரு திரிகடி
3. ஐந்து விரல்களால் பிடித்து மூடி
எடுக்கும் அளவு = ஒரு கைப்பிடி
4. ஐந்து விரல்களை ஒன்று சேர்த்து
நீட்டி அள்ளும்அளவு
= ஒரு சிறங்கை அல்லது கதனை
5. கட்டை விரலுக்கும் ஆட்காட்டி
விரலுக்கும் சேர்த்துப் பிடிக்கும் அளவு
= ஒரு கைப்பாங்கு (கப்பாங்கு)
6. ஐந்து விரல்களையும் பிரித்துக்
பாய்ச்சி அள்ளும்அளவு = ஒரு குத்து
எண்ணலளவை
ஒன்று
பத்து
நூறு ஆயிரம்
பத்தாயிரம்
நூறாயிரம் அல்லது ஒரு இலக்கம்
நூறு நூறாயிரம் = ஒரு கோடி
பத்து கோடி = 1 அற்புதம்
பத்து அற்புதம் = 1 நிகழ்புதம்
பத்து நிகழ்புதம் = 1 கும்பம்
பத்து கும்பம் = 1 கணம் அல்லது கணிகம்
பத்து கணம் = 1 கற்பம்
பத்து கற்பம் = 1 நிகற்பம்
பத்து நிகற்பம் = 1 பதுமம் அல்லது தாமரை
பத்து பதுமம் = 1 சங்கம்
பத்து சங்கம் = 1 வெள்ளம் அல்லது வாரணம்
பத்து வெள்ளம் = 1 அன்னியம்
பத்து அன்னியம் = 1 அருத்தம்
பத்து அருத்தம் = 1 பராருத்தம்
பத்து பராருத்தம் = 1 பூரியம்
பத்து பூரியம் = 1 மும்முக்கோடி
பத்து மும்முக்கோடி = 1 மாயுகம்
நூறு மாயுகம் = 1 பர்தம்
இறங்கு முக இலக்கங்கள்அல்லது கழவாயிலக்கம் (Fraction)
ஓன்று எனும் முழு எண்ணுக்குக் கீழ்ப்பட்ட வின்னங்களின் வரிசை) ஒன்றுக்குக் கீழ்ப்பட்ட கீழ்வாய் இலக்கங்களிலும் தமிழர் வியக்கத்தக்க எண் முறையை வகுத்தார்கள். இது முக்காலே மூன்று வீசத்தில் தொடங்கி, தேர்த்துகள் வரை ஆழமாகச் சென்றுள்ளது. இவற்றுள் அடங்கிய அணு, இம்மி என்னும் சொற்கள் மட்டும் சிலருடைய பேச்சு வழக்கில் உள்ளது.
3⁄4 - முக்கால்
1⁄2 - ஆரை
1⁄4 - கால்
1/5 - நாலுமா
3/16 -மூன்று வீசம்
3/20 - மூன்று மா
1/8 - அரைக்கால்
1/10 - இருமா
1/16 - மாகாணி (வீசம்)
1,20 - ஒருமா
3/64 - முக்கால்வீசம்
3/80 - முக்காணி
1/32 - அரைவீசம்
1/40 - அரைமா
1/64 - கால்வீசம்
1/80 - காணி
3/320 - அரைக்காணி முந்திரி
1/160 - அரைக்காணி
1/320 - முந்திரி அல்லது முத்திரை
1/102400 – கீழ் முந்திரி
1/2150400 - இம்மி
1/23654400 - மும்மி
1/165580800 - ஆணு
1/1490227200 - குணம்
1/7451136000 - பந்தம்
1/44706816000 - பாகம்
1/312047712000 - விந்தம்;
1/5320111104000 - நாகவிந்தம்
1,744815554556000 - சிந்த
1/48963110912, - கதிர்முனை
1/9585244364800000 - குரல்வனைப்பிடி
1/57511466188800000 - வெள்ளம்
1/57511466188800000000 - நுண்மணல்
1/2323824530227200000000 - தேர்த்துகள்
கீழ்வாய்ச் சிற்றலக்க வாய்பாடு
வினனங்களின் ஏறுவரிசை = (ஒன்று எனும் முழு எண்ணை நோக்கி)
65 தேர்த்துகள் = 1 நுண்மணல்
100 நுண்மணல் = 1 வெள்ளம்
60 வெள்ளம் = 1 குரல்வளைப்பிடி
40 குரல் வளைப்பிடி = 1 கதிர்முனை
20 கதிர்முனை = 1 சிந்தை
14 சிந்தை = 1 நாகவிந்தம்
17 நாகவிந்தம் = 1 விந்தம்
7 விந்தம் = 1 பாகம்
6 பாகம் = 1 பந்தம்
5 பந்தம் = 1 குணம்
9 குணம் = 1 அணு
7 அணு = 1 மும்மி
11 மும்மி = 1 இம்மி
21 இம்மி = 1 கீழ்முந்திரி
320 கீழ்முந்திரி = 1 மேல்முந்திரி
320 மேல்முந்திரி = 1 ஒன்று (1 எனும் முழு எண்)
பண்டைத் தமிழர்தம் கணக்கியலின் மிக நுண்ணிய அளவை முறைமைகளைக் கணக்காயர் பள்ளிகளில் கற்றுத்தேர்ந்த அறிஞர்கள் தமிழகத்தினின்றும் பல வேறிடங்களுக்கும் சென்று தமது கணக்கியல் அறிவினைப் பரப்பினர், அறுதியிட்டுக் கண்ட எண்ணிக்கைகளைப் பார்த்தோம், ஆனால், அறுதியிட்டு எண்ணிச் சொல் இயலா எண்ணிக்கைகளை உய்த்தலளவு எனும் ஓர்தலறிவினாலும், எண்ணிலடங்காத் தொடர் எண்களின் ஏரண அடுக்கத்தினாலும் அறிவர் பாடங்களாலும், சில மாறிலிநிலை எண்களைக் கொண்டே அரங்கிற்கு ஒளியூட்டு நிகழ்முறைகளையும் பழந்தமிழர் கடைபிடித்தனர்.
பித்தகோரசின் தேற்றமாவது போதையனாரின் செங்கோணமுக்கோண கோட்பாட்டிற்கு பின்னியது (Pothyanar Principle is prior to Pythagoras theorem)
பித்தாகரசுக்கு முன் செங்கோண முக்கோணம் குமரிக் கண்டத்து மாந்தன் நிலவலகெங்கும் பலகிப் பெருகிப் பன்னாட்டிலும் வேரரூன்றி நிலைத்த பின் தனது முன்னோர் இன்னாரென்பதனை அறியாது மயங்கித் தம்மை மேனாட்டுக் குடிகளாகவே கருதி வாழ்வாராயினர், அவர்தம் அறிவியல் கண்டு பிடிப்புகள் யாவும் தாம் புதிதாகக் கண்ட றிந்தவையே என நம்பியும், இருந்து வருகின்றனர், ஆயினும் இன்று அவர்கள் படைத்துள்ளன யாவும், தமிழனின் பழைய கள்ளினைப் புதிய மொந்தையில் ஊற்றித் தரும் செயலாகும். வானியல், வான் இயற்பியல், கோளியல், புவி இயக்கவியல். வானூர்தியியல், பொது இயற்பியல், பொறியியலின் அனைத்துப் பிரிவுகள் என வளர்ந்து நிற்கும் துறைகள் யாவும், கணக்கியலடிப்படையிலான அறிவியல் (Mathematical Sciences) என அழைக்கப்பெறுகின்றன. இக் கணக்கியலில், குறிப்பாக வடிவக் கணக்கியலில் செங்கோணம் என்பது ஓர் இன்றியமையாத நுட்பமாக இருந்து வருகின்ற து, பல்வேறு அளவை முறைகளிலும் தொலைவு.
உயரம், நீளம் போன்னறவற்றைக் கணக்கிடச் செங்கோண முக்கோணமும் அதன் அடிப்படைச் சூத்திரமாகப் பித்தகோரசின் தேற்றமும் இன்று முதன்மை பெற்றுள்ளன, இந்தப் பித்தகோரசின் தேற்றம் தமிழனிடமிருந்து கற்றுச் சென்ற பாடமே.
பித்தகோரசின் தேற்றமாவது (Pythagoras theorem) ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் (Right-angled triangle) கர்ணத்தின் (Hypotenuse) வர்க்கம் (square root) மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம். பித்தகோரசின் விளக்கமாவது பின்வரும் அ,ஆ, இ என்னும் மூலைகள் கொண்ட ஓர் செங்கோண முக்கோணத்தின் க, ங,ச எனும் பக்கங்கள் அமைந்துள்ளன.
இதில்,
க என்ற பக்கத்தின் அளவு= 3 செ.மீ
ங என்ற பக்கத்தின் அளவு= 4 செ.மீ
எனில்,
ச என்ற பக்கத்தின்அளவு = க வின்இருமடி, +ங வின் இருமடி
= க + ங
= 3 + 4
= 9 + 16
= 25
= 5
ச என்ற பக்கத்தின் அளவு 5 செ.மீட்டர்களாகும்.
பழந்தமிழ்க் கணக்கியல் முறையில் இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணத்தின் அளவு காண உதவும் சூத்திரப் பாடல் கீழ்வருமாறு
ஏற்ற நீளந்தன்னில் எட்டிலொன்றைத் தள்ளி
சாற்று முயரத்தில் சரிபாதியைக் கூட்டி
மீற்று கரணந் தன்னை மின்னிடையே நீகாண்டி
போற்று மூன்றொன்றெனவே பொலன்குழையே வீதங்காண்.
மேலும்,
"ஓடும் நீளம் தனை ஒரேஎட்டுக்
கூறு ஆக்கி கூறிலே ஒன்றைத்
தள்ளி குன்றத்தில் பாதியாய்ச் சேர்த்தால்
வருவது கர்ணம் தானே"
- போதையனார்
இதன் விளக்கமாவது, முன்னர்க் கூறிய செங்கோண முக்கோணம் அ, ஆ, இ எனும் முனைகளுடனும் க, ங, ச என்ற பக்கங்களுடனும் இருப்பதாகக் கொள்க. இதில், க என்ற பக்கத்தினளவு (உயரம் எனப் பாடலில் குறிப்பிடப்பட்ட து) = 3 செ,மீ,
ங என்ற பக்கத்தினளவு (நளம் எனக் குறிக்கப்பட்டது)= 4 செ.மீ எனில்
ச எனும் பக்கத்தினளவு காணும்முறையாவது,
நீளப்பக்கத்தில் எட்டிலொரு பங்கினைக் கழிக்கவும்,
அதாவது 4ல் எட்டிலொன்றைக் கழிக்க 3 1⁄2 செ,மீ, ஆகும்,
அதனுடன் உயரத்தில் பாதியைக் கூட்டவும்,
அதாவது 3ல் பாதியைக்(1 1⁄2 ) கூட்டவும்,
ச என்ற பக்கத்தினளவு 5 செ,மீ ஆகும்.
நீள்ப் பக்கத்தினளவில் உயரப்பக்கம் மூன்றில் ஒரு பங்கு அளவேனும் இருத்தலே பயன்படு முக்கோணமாகும். அதாவது ஓர் வீட்டில் அமைக்கப்படும் தூலத்தின் நீளம் ஒன்பதடி எனில் அதன் நடுவில் வைக்கப்படும் குத்து மரம் 3 அடிக்குக் குறையாது வைக்கப்படுதலே அதிகமான சுமை தாங்கும் திறனையளிக்கும் என்பதால் மூன்றில் ஒரு பங்குக்கும் (மூன்றில் ஒன்றுக்குக்) குறைந்த குத்துயரங்கள் கணக்கில் வைக்கப்படவில்லை எனலாம், இங்கே மாதிரிக் கணக்குகள் சில பித்தகோரசின் படியும், பழந்தமிழர் கணக்கின் படியும் பட்டியலிடப்படுகின்றன. போதையனார் கோட்பாட்டின் சிறப்பம்சம் என்னவென்றால், வர்க்கமூலம் அதாவது Square root இல்லாமலேயே, நம்மால் இந்த கணிதமுறையை பயன்படுத்த முடியும். அட்டவணை:-
நீளமானது உயரத்தை விட மூன்று பங்குக்கு மிகாமல் இருக்கும் வரை இவை பொருந்தி வருதல் காண்க. மூன்றிலொன்றின் குறைந்த உயரம் முக்கோணப் பயன்பாட்டில் குறைவுபடுதலின் அது வேண்டற்பாற்றன்றெனத் தமிழர் கடிந்தனராம்.
References:
தமிழாய்வில் கண்ட உண்மைகள் பேராசிரியர் இரா.மதிவாணன் 2005
எண்ணியல் ஆதி. சங்கரன்
எண்ணும் எழுத்தும் By முனைவர் மலையமான்
தொடரும்...
C.P.சரவணன், வழக்கறிஞர் 9840052475